Limite di una funzione


Per introdurre il concetto di limite di una funzione in un punto, conviene partire da un esempio. Consideriamo la funzione
funzione
Vogliamo vedere a quale valore si avvicina la funzione ( la variabile y) se alla x attribuiamo valori sempre piu' prossimi al numero 1.
A tal fine costruiamo una tabella con i valori della x e a fianco i corrispondenti valori della y. Nella parte di sinistra ci "avviciniamo" a 1 per valori minori del numero, in quella di destra per valori maggiori.

x y
x
y
0,6
1,6
1,4
2,4
0,8 1,8
1,3
2,3
0,9 1,9
1,2
2,2
0,95
1,95
1,1
2,1
0,98
1,98
1,02
2,02

Dall'esame dei risultati si può notare che i valori della y "si avvicinano" al numero 2, man mano che quelli della x
"si approssimano" a 1. Cio' accade sia per valori minori, sia per valori maggiori di 1.
Si dice allora che la funzione funzione ha limite 2 per x che tende a 1 e si scrive:

In modo più rigoroso :
Si dice che una funzione f(x) ha limite l per x che tende a x0 e si scrive limite se, comunqe si considera un numero epsilon piccolo a piacere, è possibile trovare in corrispondenza un intorno I del punto x0 , in modo che per ogni x
appartenente a I e diverso da x0 risulti:
fx-l
o in alternativa
llkkkgkg

La definizione è illustrata dalla seguente figura: