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( effe da A a B), è una una legge che associa ad ogni elemento x dell’insieme A, uno ed un solo elemento y dell’insieme B. A è detto dominio della funzione, B codominio. L’elemento f(x) ( effe di x) di B è l' immagine dell’elemento x di A. Il dominio e il codominio possono essere anche lo stesso insieme. Siano A={Como, Genova, Savona, Bergamo, Napoli} e B={Lombardia, Liguria, Campania}, la legge che associa ad ogni città la regione di appartenenza, è una funzione. Se indichiamo questa funzione con f, avremo: f(Como)=Lombardia, f(Genova)= Liguria ecc. Se A e B sono sottoinsiemi, non necessariamente propri, dell'insieme dei numeri reali, la funzione è detta reale di variabile reale.
In alternativa si può dare la seguente definizione di funzione reale.
Date due variabili x e y, una funzione reale di variabile reale è una legge che associa ad ogni valore reale di x, considerato in un certo insieme numerico detto dominio o campo di esistenza, uno ed un solo valore reale di y. La x è detta variabile indipendente , la y variabile dipendente .
Una funzione si indica con la scrittura y=f(x) e si legge “ y uguale effe di x”. Il dominio è l’insieme dei valori che si possono attribuire alla variabile x per ricavare la y.Un esempio di funzione è la legge che ci fa determinare il costo y di una certa quantità di frutta x, sapendo che un kg costa 2 €:
In questo modo un kg di frutta costa due euro, cioè due kg costano 4 €, e così via. Per indicare il valore, ad esempio, corrispondente ad 1 si usa la scrittura f(1) e si legge “effe di uno”. Nella funzione y=2x, f(1)=2, f(2)=4, f(3)=6 ecc.
Le funzioni reali si suddividono in algebriche e trascendenti . Le algebriche sono quelle funzioni nelle quali si passa dal valore della x a quello della y tramite operazioni algebriche ( addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici). Nelle trascendenti compaiono logaritmi, funzioni goniometriche, esponenziali ecc. Le funzioni algebriche a loro volta si suddividono in razionali intere, razionali fratte e irrazionali. Le funzioni razionali intere sono quelle nelle quali compaiono le operazioni algebriche escluse la divisione e la radice . Un esempio è:
Funzioni di questo genere sono definite per ogni valore reale di x in quanto le operazioni che occorre svolgere per determinare il valore della y, noto quello della x, sono sempre possibili. In altri termini, la potenza, il prodotto, l’addizione e la sottrazione si possono eseguire su tutti i numeri reali. Il dominio, quindi, delle funzioni razionali intere è costituito dall’insieme R di tutti i numeri reali. Le funzioni razionali fratte sono quelle che hanno la variabile indipendente al denominatore. Funzioni di questo tipo sono definite per tutti i valori reali di x esclusi quelli che annullano il denominatore. Infatti nell’insieme dei numeri reali la divisione per lo zero non è possibile. La funzione
è definita per , alla variabile x non si può attribuire il valore 1 perché in tal caso il denominatore diventa nullo. Un altro modo di indicare il dominio della suddetta funzione è : .
Le funzioni irrazionali sono quelle nelle quali la variabile indipendente compare sotto il segno di radice,e, quando l’indice è pari sono definite per i valori reali che rendono il radicando positivo o nullo. Un esempio è dato dalla funzione . In questo caso il dominio è costituito dai valori reali di x, tali che, , che si ottengono risolvendo la disequazione 3x-4 .
y=ln(x+1) è definita pero x>-1 in quanto il logaritmo in base e esiste solo quando l'argomento è positivo.
Una funzione si dice pari o simmetrica rispetto all'asse delle y se per ogni x del suo dominio risulta: