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Equazioni omogenee

Una equazione si dice omogenea se può essere espressa nella forma:
xxccxxx (1)
Per risolverla si pone:
ssaaaaaa
da cui
sssssqaa.
Si calcola la derivata prima
zzcxxcx
e sostituendo nell'equazione (1) si ottiene

zzxxx
Si è così trasformato la (1) in una equazione lineare.
Esempio


SASAsaSa (2)

ssaaaaaa


sssssqaa

zzcxxcx
Sostituendo nella (2) i valri di y' e y si ricava
saaDSDA

saSASA
xX<x
zxxzxzxz
Integrando ambo i membri ed eseguendo i calcoli si ottiene l'integrale generale
<<<<z
<<<<zv

<<<<zv

Nelle ultime due si è posto 2c=k.
Equazione di Clairaut
L'equazione di Clairaut ha la forma:
DADSADSA (1)
Derivando ambo i membri rispetto alla x, si ottiene
XX>z>

>z>X

XXXZX
Per la legge di annullamento del prodotto dovrà essere:
XX<
Da y''=0 si ottiene:
<>Z<Z<Z>Z>
Quest'ultima si ricava sostituendo c al posto di y' nella (1) e rappresenta l'interale generale.
Eliminando la c dal seguente sistema si ha l'integrale singolare, sempre da verificare.


La seconda equazione si è ottenuta derivando la prima rispetto a c.
Esempio
<Z<Z>z
<zZZ<>
XXX<
CCCXX ( integrale generale)

Equazione di Bernoulli

L'equazione di Bernoulli si presenta nella forma:
xxcc<z
Dividendo termine a termine per ccxzc si ottiene:

cxzcxzc<z
Si pone cxvcxzc , da cui cxcxzcxx< , cxzccxcc e xxx>Z> .
Sostituendo nell'ultima equazione ed effettuando i calcoli, si ricava:
vvcxvcxz (equazione lineare)
Esempio
cxzcxzc
Procedendo come nella teoria e svolgendo i calcoli, si perviene alla seguente equazione lineare:
vxzvxzxzc

bvcxvcxz
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