Una equazione si dice omogenea se può essere espressa
nella forma:
(1)
(1)Per risolverla si pone:
da cui
.
(2)
Nelle ultime due si è posto 2c=k.
. Si calcola la derivata prima
e sostituendo nell'equazione (1) si ottiene
Si è così trasformato la (1) in una equazione
lineare.
Esempio
Esempio
(2)Sostituendo nella (2) i valri di y' e y si ricava
Integrando ambo i membri ed eseguendo i calcoli si ottiene
l'integrale generale
Nelle ultime due si è posto 2c=k.
Equazione di Clairaut
L'equazione di Clairaut ha la forma:
(1)
(1)Derivando ambo i membri rispetto alla x, si ottiene
Per la legge di annullamento del prodotto dovrà
essere:
Da y''=0 si ottiene:
Quest'ultima si ricava sostituendo c al posto di y' nella
(1) e rappresenta l'interale generale.
Eliminando la c dal seguente sistema si ha l'integrale singolare, sempre da verificare.
Eliminando la c dal seguente sistema si ha l'integrale singolare, sempre da verificare.
La seconda equazione si è ottenuta derivando la prima rispetto a c.
( integrale generale)
(equazione lineare)
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Esempio
( integrale generale)
Equazione di Bernoulli
L'equazione di Bernoulli si presenta nella forma:
Dividendo termine a termine per 
si ottiene:
si ottiene: Si pone 
, da cui 
, 
e 
.
Sostituendo nell'ultima equazione ed effettuando i calcoli, si ricava:
, da cui
,
e
. Sostituendo nell'ultima equazione ed effettuando i calcoli, si ricava:
(equazione lineare)Esempio
Procedendo come nella teoria e svolgendo i calcoli, si perviene alla
seguente equazione lineare: