DERIVATE
ddddd
Concetto di rapporto incrementale

Consideriamo una funzione y=f(x) definita in un intervallo I . Sia zzzz un punto del suo dominio. Diamo a ccccc un incremento h positivo, otteniamo cos il punto vcxxzcx . La funzione, mentre la variabile indipendente passa da zzzz a vcxxzcx, varia da ssssss a sssa , cio subisce l'incremento
aaaa -ssssss .
Al rapporto fra l'incremento della y e quello della x, cio a:
ssss
si d il nome di rapporto incrementale della funzione f(x) nel punto ccccc . La definizione valida anche considerando un incremento negativo.
Dal punto di vista geometrico, (vedi figura), il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta secante passante per i punti P e Q. Ci facilmente comprensibile se si tiene conto che il coefficiente angolare della retta passante per P e Q uguale a sss ( sss rappresenta l'angolo che la retta forma con l'asse delle x e anche l'angolo in P ) e che:

sss = ssss .
(In ogni triangolo rettangolo, la tangente di un angolo uguale al rapporto fra la misura del cateto opposto e quella del cateto adiacente all'angolo.)

Derivata di una funzione

Si definisce derivata prima o semplicemente derivata della funzione f(x) nel punto ccccc del suo dominio il limite se esiste ed finito del rapporto incrementale, cio:
xxzx
e si indica con i simboli sssss , dddd , ddddd .
La derivata, dal punto di vista geometrico, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto P.
Infatti , tenuto conto che il rapporto incrementale uguale al coefficiente angolare della secante e considerato che al tendere di h a 0 la secante tende a diventare la tangente, l'affermazione senz'altro vera.

Calcolo di derivate di funzioni elementari

Vogliamo ora determinare le derivate di alcune funzioni elementari. Iniziamo con f(x)=k (costante) nel punto
ccccc =1. A tal fine dobbiamo calcolare il limite
ddddd
La derivata di una costante, indipendentemente dal punto in cui si calcola, uguale a 0.
Se consideriamo ddddd nel puntoccccc =1, avremo:

sssss

La derivata di una funzione in un punto quindi un numero reale.
Se la derivata invece viene calcolata nel punto generico x, a sua volta una funzione della stessa variabile.
Determiniamo adesso la derivata della funzione f(x)=x, nel punto x.
dddssfffdsfs
saSasaS
Se ddddd ,

ccxzcxcxz =dssa .

A questo punto possiamo costruire una tabella con alcune funzioni elementari e a fianco le corrispondenti derivate generiche.
La derivata stata indicata con il simbolo y'.
fdsfsf
La tabella non completa ma include le derivate prime delle principali funzioni elementari.

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