Tipi di limiti

Quello che abbiamo considerato nella pagina precedente il limite finito per la variabile indipendente tendente ad un numero finito. Esistono altri casi di limiti:
  • limite finito per x che tende all'infinito;
  • limite infinito per x che tende ad un numero finito;
  • limite infinito per x che tende all'infinito
Nel primo tipo il valore della funzione "si avvicina" ad un numero finito quando la variabile x tende all'infinito.
Il limite si scrive:
sdsdsasa
Nel secondo si ha la scrittura:
xxzxzxz
Nel terzo infine:
zzxxxx
L'infinito pu essere sia positivo, sia negativo.
Graficamente, di seguito, sono rappresentati il 1 e il 2 dei tre casi:

ddddddd
xxxxz
fig.1 fig. 2

La definizione del secondo tipo di limite la seguente:
Una funzione f(x) ha limite + infinito per x che tende a xccxzcxzc se, comunque si considera un numero positivo M , grande a piacere, possibile determinare in corrispondenza un intorno ]a,b[ di xccxzcxzc in modo che per ogni x appartenente ad ]a,b[, escluso xccxzcxzc , risulti:

f(x)>M

La definizione dovrebbe essere chiara osservando la figura 2.

Algebra dei limiti

Per poter calcolare il limite di una funzione dobbiamo introdurre il seguente teorema:
Se due funzioni f(x) e g(x) hanno rispettivamente limiti l e k per x che tende a xccxzcxzc , la funzione f(x)+g(x) ha limite l+k per x che tende allo stesso valore. Dei teoremi simili sono validi per i limiti della differenza, del prodotto e del quoziente di due funzioni.
Quando si determina il valore di un limite bisogna tener conto delle seguenti relazioni.
Nella somma algebrica: se il valore del limite della prima funzione + zxxxx e quello della seconda -zxxxx , siamo in presenza di una forma indeterminata. Nel caso in cui uno zxxxx e l'altro un numero finito, il limite della somma zxxxx
Riassumendo e completando si ha il seguente quadro:

+zxxxx +zxxxx =+zxxxx
-zxxxx -zxxxx =-zxxxx
-zxxxx +zxxxx f.i.
+zxxxx -zxxxx f.i.
+zxxxx +n=+zxxxx
+zxxxx -n=+zxxxx
n+zxxxx =+zxxxx

.
Nel prodotto:
+zxxxxssssss (+zxxxx )=+zxxxx
-zxxxxssssss (-zxxxx )=+zxxxx
+zxxxxssssss n=+zxxxx
nssssss (-zxxxx )=-zxxxx
0sssssszxxxx f.i.

.
Nel quoziente:

zxxxx /zxxxx f.i.
0/0 f.i.
n/zxxxx =0
n/0=zxxxx

A questo punto seguendo le indicazioni riportate sopra possiamo eseguire il calcolo di limiti. C' da specificare che in alcuni casi in un punto una funzione non ha un limite unico, ma sinistro e destro.

xxxxzx ( il limite di una somma di funzioni, addizionando i valori dei singoli limiti si ottiene il risultato)

vvcvcxvcx = +zxxxx ( limite di una somma, il risultato giustificato guardando le tabelle della somma e del prodotto )

ccxzcxz ( limite di un prodotto , i limiti dei fattori tendono entrambi a +zxxxx )

xxxz ( limite sinistro, il denominatore tende a 0 "per valori positivi", per questo motivo il risultato ha il segno +)

bbbbb ( limite destro, il denominatore tende a 0 "per valori negativi" di conseguenza il risultato ha il segno -)

ccxcxx ( limite di un quoziente nel quale il denominatore tende a +zxxxx )

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