Tipi di limiti
Quello che abbiamo considerato nella pagina precedente è il limite finito per la variabile indipendente tendente ad un numero finito. Esistono altri casi di limiti:
- limite finito per x che tende all'infinito;
- limite infinito per x che tende ad un numero finito;
- limite infinito per x che tende all'infinito
Il limite si scrive:
Nel secondo si ha la scrittura:
Nel terzo infine:
L'infinito può essere sia positivo, sia negativo.
Graficamente, di seguito, sono rappresentati
il 1° e il 2° dei tre casi:
La definizione del secondo tipo di limite è la seguente:
Una funzione f(x) ha limite + infinito per x che tende a
se, comunque si considera un numero positivo M , grande a piacere,
è possibile determinare in corrispondenza un intorno
]a,b[ di
in modo che per ogni x appartenente ad ]a,b[, escluso
, risulti:
 |
 |
fig.1
fig. 2
La definizione del secondo tipo di limite è la seguente:
Una funzione f(x) ha limite + infinito per x che tende a
se, comunque si considera un numero positivo M , grande a piacere,
è possibile determinare in corrispondenza un intorno
]a,b[ di
in modo che per ogni x appartenente ad ]a,b[, escluso
, risulti:f(x)>M
La definizione dovrebbe essere chiara osservando la figura
2.
Algebra dei limiti
Per poter calcolare il limite di una funzione dobbiamo introdurre il seguente teorema:
Se due funzioni f(x) e g(x) hanno rispettivamente limiti l e k per x che tende a
, la funzione f(x)+g(x) ha limite l+k per x che tende
allo stesso valore. Dei teoremi simili sono validi per i limiti della
differenza, del prodotto e del quoziente di due funzioni.
Quando si determina il valore di un limite bisogna tener conto delle seguenti relazioni.
Nella somma algebrica: se il valore del limite della prima funzione è +
e quello della seconda -
, siamo in presenza di una forma indeterminata. Nel
caso in cui uno è
e l'altro un numero finito, il limite della somma è
Riassumendo e completando si ha il seguente quadro:
.
Nel prodotto:
.
Nel quoziente:
Per poter calcolare il limite di una funzione dobbiamo introdurre il seguente teorema:
Se due funzioni f(x) e g(x) hanno rispettivamente limiti l e k per x che tende a
, la funzione f(x)+g(x) ha limite l+k per x che tende
allo stesso valore. Dei teoremi simili sono validi per i limiti della
differenza, del prodotto e del quoziente di due funzioni.Quando si determina il valore di un limite bisogna tener conto delle seguenti relazioni.
Nella somma algebrica: se il valore del limite della prima funzione è +
e quello della seconda -
, siamo in presenza di una forma indeterminata. Nel
caso in cui uno è
e l'altro un numero finito, il limite della somma è
Riassumendo e completando si ha il seguente quadro:
+
+
=+
|
| -
-
=-
|
| -
+
f.i. |
| +
-
f.i. |
| +
+n=+
|
| +
-n=+
|
| n+
=+
|
.
Nel prodotto:
+
(+
)=+
|
| -
(-
)=+
|
| +
n=+ |
| n
(-
)=-
|
| 0
f.i. |
.
Nel quoziente:
|
/
f.i. |
| 0/0 f.i. |
| n/
=0 |
| n/0=
|
A questo punto seguendo le indicazioni riportate sopra
possiamo eseguire il calcolo di limiti. C'è da specificare che in
alcuni casi in un punto una funzione non ha un limite unico, ma
sinistro e destro.
( è il limite di una somma di funzioni, addizionando
i valori dei singoli limiti si ottiene il risultato)
= +
( limite di una somma, il risultato è giustificato guardando
le tabelle della somma e del prodotto )
( limite di un prodotto , i limiti dei fattori tendono entrambi
a +
)
( limite sinistro, il denominatore tende a 0 "per
valori positivi", per questo motivo il risultato ha il segno +)
( limite destro, il denominatore tende a 0 "per valori negativi"
di conseguenza il risultato ha il segno -)
( limite di un quoziente nel quale il denominatore tende a +
)
( è il limite di una somma di funzioni, addizionando
i valori dei singoli limiti si ottiene il risultato)
= +
( limite di una somma, il risultato è giustificato guardando
le tabelle della somma e del prodotto )
( limite di un prodotto , i limiti dei fattori tendono entrambi
a +
)
( limite sinistro, il denominatore tende a 0 "per
valori positivi", per questo motivo il risultato ha il segno +)
( limite destro, il denominatore tende a 0 "per valori negativi"
di conseguenza il risultato ha il segno -)
( limite di un quoziente nel quale il denominatore tende a +
)